Variogram Definition

VARIOGRAM

Variogram dihitung dengan suatu rumus yang sederhana yaitu perbedaan rata-rata antara dua titik conto dengan jarak tertentu. Oleh karena perbedaan tersebut kemungkinan < 0 atau > 0, agar perbedaan rata-rata tersebut selalu > 0 maka perlu diaplikasikan perhitungan statistik yang berdasarkan pada perbedaan kuadrat.

1.    Perhitungan variogram

Delfiner mendefinisikan bahwa perbedaan kuadrat tersebut diasumsikan sebagai ekspektasi [z(x_i) - z(x_i+h)], sehingga definisi variogram menjadi :

            2g(h) = var [z(x_i) - z(x_i+h)]                  

            dimana :    2g(h)   = variogram

                               var      = varians.

1.1    Variogram eksperimental

Dari fungsi tersebut dapat didefinisikan semivariogram sebagai berikut :

               

dimana :    g (h)    = (semi)variogram untuk arah tertentu dan jarak h

                    h          =  1d, 2d, 3d, 4d   (d = jarak antar conto)

                    z(x_i)     = harga (data) pada titik x_i

                    z(x_i+h) = data pada titik yang berjarak h dari x_i

N(h)            = jumlah pasangan data.

Sebagai contoh data kadar emas (dalam ppm) di sepanjang urat dengan jarak pengambilan conto (d) setiap 2 m :

harga   7       9      8     10     9     11    11    13    11    12    16    12    10    11    10    12    15 ppm

           ├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤

lokasi   1       2      3      4      5      6      7      8      9     10    11    12    13    14    15    16    17

               (7-9)²+(9-8)²+(8-10)²+(10-9)²+(9-11)²+(11-11)²+.....+ (10-12)²+(12-15)²  

g (2)    =   ──────────────────────────────────────────  ppm²

                                                2x16

           =   (4+1+4+1+4+0+4+4+1+16+16+4+1+1+4+9)/2x16 = 74/32 = 2,31ppm²

g (4)    =   (1+1+1+1+4+4+0+1+25+0+36+1+0+1+25)/2x15 = 101/30 = 3,36  ppm²

g (6)    =   (9+0+9+1+16+0+1+9+1+4+25+4+4+16)/2x14 = 99/28 = 3,54  ppm²

g (8)    =   (4+4+9+9+4+1+25+1+1+1+25+0+16)/2x13 = 100/26 = 3,85  ppm²

g (10)  =   (16+4+25+1+9+25+1+9+0+4+16+9)/2x12 = 119/24 = 4,96  ppm²

g (12)  =   (16+16+9+4+49+1+1+4+1+0+1)/2x11 = 102/22 = 4,64  ppm²

g (14)  =   (25+4+16+25+9+1+0+9+1+9)/2x10 = 99/20 = 4,95  ppm²

g (16)  =   (16+9+64+4+1+0+1+1+16)/2x9 = 112/18 = 6,22  ppm²

g (18)  =   (25+49+16+0+4+1+1+4)/2x8 = 100/16 = 6,25  ppm²

g (20)  =   (81+9+4+1+1+1+16)/2x7 = 113/14 = 8,07  ppm²

g (22)  =   (25+1+9+0+9+16)/2x6 = 60/12 = 5,00  ppm²

g (24)  =   (9+4+4+4+36)/2x5 = 57/10 = 5,70  ppm²

Gambar 1.1   Variogram eksperimental dan varians populasi

                        (garis mendatar, menunjukkan harga 5,25 ppm²)

Perhitungan di atas dilakukan pada pasangan conto yang harus tepat pada jarak h dan tepat arah 0⁰, sedangkan pada prakteknya sering dijumpai pola pengambilan conto yang tidak reguler, untuk itu perlu diberikan suatu tolerasi untuk kedua variabel tersebut, sehingga muncul istilah angle classes (q±a/2) dan distance classes (h±Dh) (David, 1977).

Jadi semua titik conto yang berada pada search area yang didefinisikan dengan angle classes (q ± a/2) dan distance classes (h±Dh) akan dianggap sebagai titik-titik conto yang berjarak h dari titik x_o pada arah termaksud (Gambar 1.2).

Gambar 1.2   Arah variogram (q), search area dengan angle of classes (q ± a/2) dan distance classes (h±Dh)  (David, 1977)

Alogaritma perhitungan variogram adalah sebagai berikut :

·         Setiap titik conto mempunyai kesempatan untuk menjadi titik origin (x_i). Titik-titik lainnya dihitung dengan perbedaan kuadratnya [z(x_i) - z(x_i+h)]². Jarak antara titik origin (x_i) dan titik lainnya (x_i+h) harus berada pada distance classes (h±Dh). Jika titik x_i+h berada di luar daerah distance classes dan angle classes, maka perbedaan kuadrat tidak dihitung. Demikian perhitungan ini berulang-ulang ke setiap titik x_i+h.

·         Selanjutnya prosedur nomor satu titik-titik lainpun diberi kesempatan menjadi titik origin x_i.

·         Untuk posedur 1 dan 2 hitung jumlah pasangannya N(h) yang memenuhi syarat di atas dan juga jumlahkan secara kumulatif semua perbedaan kuadratnya S[z(x_i)-z(x_i+h)]². Dengan rumus di atas, maka dapat dihitung (semi)variogram untuk jarak pasangan h=1d.

·         Variogram untuk jarak pasangan h selanjutnya (2d, 3d, 4d, ... dst.) lakukan kembali dengan prosedur 1 sampai dengan 3. Dengan demikian akan didapat hasil perhitungan variogram untuk setiap jarak h.

·         Plot grafik variogram dengan sumbu X adalah h sedangkan sumbu Y nya adalah harga variogram untuk jarak h yang bersangkutan.

1.2    Variogram teoritis

Experimental variogram khususnya sangat berguna untuk menganalisis stuktur suatu endapan bahan galian dan tidak dapat langsung digunakan dalam perhitungan cadangan. Untuk itu perlu adanya model variogram teoritis untuk difitkan dengan eksperimental variogram. Model teoritis ini diekspresikan dengan suatu model matematis.

Model matematis yang banyak digunakan dan umumnya terjadi pada endapan mineral adalah model sferis (David, 1977, Barnes, 1979). Fungsi matematisnya berbentuk polinomial sederhana, dimana variogram akan mencapai suatu nilai yang tetap (finite) untuk h yang tidak terbatas. Nilai finite ini dinamakan sill (Gambar 1.3).

Gambar 1.3   Model variogram sferis

g(h) = C₀ + C [3/2 h/a - 1/2 (h/a)³]              h ≤ a

          g(h) = C₀ + C                                                 h > a

          g(h) = 0                                                           h = 0

            dimana :   a          =   range of influence (daerah pengaruh)

                              C₀                  =          nugget variance

                              C₀+C   =   sill = s² = varians populasi

Bila ditarik garis tangent dari origin g(0), maka garis tersebut akan me-motong sill pada posisi 2/3 a dan ini dapat digunakan untuk memperkirakan harga range of influence.

1.3    Fitting variogram  

Ada dua metoda yang umumnya digunakan untuk memfit variogram eksperimental dengan variogram teoritisnya yaitu metoda visual dan metoda least square. Dengan metoda visual (manual) biasanya sudah cukup memuaskan, dan banyak digunakan oleh para ahli geostatistik (David, 1979). Karena sense yang banyak berperan dalam melakukan fitting tersebut, maka dalam pekerjaan ini pengalaman akan sangat menentukan kualitas fitting. Tujuan utama dari fitting ini adalah untuk mengetahui parameter geostatistik seperti a, C, dan C₀.

Berikut ini beberapa pedoman penting dalam melakukan fitting :

·         Variogram yang mempunyai pasangan conto yang sangat sedikit agar diabaikan.

·         Nugget variance (C₀) didapat dari perpotongan garis tangential dari beberapa titik pertama variogram dengan sumbu Y.

·         Sill (C₀+C) kira-kira sama dengan atau mendekati varians populasi. Garis tangensial di atas akan memotong garis sill pada jarak 2/3 a, sehingga selanjutnya dapat dihitung harga a (David, 1977, Clark, 1979, Leigh and Readdy, 1982)

·         Interprestasi nugget variance untuk variogram dengan sudut toleransi 180⁰ (variogram rata-rata) akan sangat membantu untuk memperkirakan besarnya nugget variance (David, 1979)

·         Nugget variance diambil dari multiple variogram (dalam berbagai arah). Dalam multiple variogram, best spherical line sebaiknya lebih mendekati variogram yang mempunyai pasangan conto yang cukup.