Ordinary Kriging

KRIGING

1.      Model Blok Cebakan Mineral

Pemakaian model blok untuk memodelkan suatu cebakan mineral telah umum dilakukan dalam industri pertambangan. Hal ini dimulai pada akhir tahun 60-an, ketika komputer mulai digunakan di dalam pekerjaan perhitungan cadangan dan perencanaan tambang. Volume 3-dimensi cebakan mineral yang akan ditambang kita bagi ke dalam unit-unit yang lebih kecil (blok/unit penambangan terkecil). Dalam kerangka model blok inilah semua tahap pekerjaan akan dilakukan, mulai dari penaksiran kadar, perancangan batas penambangan hingga ke perencanaan tambang jangka panjang dan jangka pendek.

Tergantung pada jenis cebakan mineral yang dihadapi, tujuan pembuatan model serta metode penambangan, ukuran blok dapat berkisar dari 3 x 3 x 2 m (x,y,z) atau lebih kecil untuk cebakan emas tipe vein, hingga 25 x 25 x 15m atau lebih besar untuk cebakan-cebakan berukuran masif seperti tembaga porfiri. Tiap-tiap blok akan memiliki atribut (variabel model) misalnya topografi atau volume blok (utuh/tidak utuh), jenis batuan, berat jenis, taksiran kadar, klasifikasi hasil taksiran, aspek pengolahan/metalurgi dll.  Semakin banyak jumlah blok dan jumlah variabel dalam model, semakin besar pula kebutuhan memori dan mass storage (disk space) komputer kita.

2.  Kriging: Suatu Penjelasan Intuitif

Metode kriging yang akan dibahas di sini adalah teknik linier yang dikenal sebagai kriging biasa (ordinary kriging).  Selain kriging biasa, banyak lagi teknik kriging linier dan non-linier lainnya.  Teknik-teknik lainnya ini (simple kriging, universal kriging, lognormal kriging, jackknife kriging, indicator kriging, probability kriging, disjunctive kriging) tidak akan dibicarakan di sini.

Gambar 1.      Skema tiga dimensi suatu model blok cebakan mineral.

Gambar 2.      Penaksiran kadar blok menggunakan conto yang terletak di dalam dan/atau di sekitar blok.

Kriging adalah penaksir geostatistik yang dirancang untuk penaksiran lokal dari kadar blok sebagai kombinasi linier dari conto-conto yang ada di dalam dan / atau di sekitar blok, sedemikian rupa sehingga taksiran ini tidak bias dan memiliki varians minimum.

Secara sederhana, kriging menghasilkan seperangkat bobot yang meminimumkan varians penaksiran (estimation variance), sesuai dengan geometri permasalahan (konfigurasi conto di sekitar blok) dan sifat mineralisasi.  Faktor terakhir ini dinyatakan dalam fungsi variogram yang mengkuantifikasikan korelasi spatial (ruang) antar conto

Dengan teknik rata-rata tertimbang (weighted average), kriging akan memberikan bobot yang tinggi untuk conto di dalam / di dekat blok, dan sebaliknya bobot yang rendah untuk conto yang jauh letaknya.  Selain faktor jarak, bobot ini ditentukan pula oleh posisi conto relatif terhadap blok dan terhadap satu sama lain.

3.  Latar Belakang

Hubungan kadar conto pemboran dengan kadar sebenarnya (dari blok penambangan) memperlihatkan suatu pencaran sistematis. Artinya, kadar conto bor tersebut bukanlah suatu penaksir yang paling baik untuk kadar blok penambangan.

Matheron memberikan cara penaksir yang lebih akurat melalui pembobotan harga-harga conto dengan bantuan fungsi variogram. Nama cara ini (kriging) diberikan sebagai penghormatan kepada D.G. Krige, yang memelopori cara penaksiran kadar emas dengan menggunakan koreksi antar conto pada tahun limapuluhan di Afrika Selatan.

Korelasi antara kadar conto pemboran dengan kadar sebenarnya dari suatu blok penambangan di titik bor tersebut (diperoleh setelah blok tersebut ditambang) akan memberikan suatu diagram pencar yang memperlihatkan, bahwa sebagian besar pasangan kadar tersebut terletak di dalam suatu ellips. 

Jika kadar conto merupakan taksiran yang akurat untuk kadar blok penambangan yang diwakili conto tersebut, maka pencaran pasangan data tersebut akan membentuk garis regresi A-A' yang melalui titik nol, dengan sudut 45⁰. Penelitian Krige terhadap perilaku kadar conto emas memperlihatkan bahwa garis regresi tersebut pada kenyataannya lebih mendatar, seperti yang ditunjukkan oleh garis B-B'.

Gambar 3.   Pencaran data antara kadar conto vs. kadar blok untuk conto emas (kurva B-B')

Ini berarti bahwa ada penyimpangan sistematik dan conto bor bukan merupakan harga taksiran yang mewakili kadar bijih pada blok yang ditambang.

Analisis conto yang terletak di atas harga rata-rata () memberikan kadar yang lebih tinggi daripada kadar sebenarnya dari blok penambangan, atau z₁>Z₁.

Sebaliknya analisis untuk kadar di bawah rata-rata menunjukkan kadar conto lebih rendah daripada kadar blok hasil penambangan. Conto z₂ memiliki kadar yang lebih kecil daripada kadar sebenarnya Z₂ dari blok penambangan.

Menggunakan taksiran variogram dari analisis data regional, Matheron memperlihatkan bahwa taksiran kadar blok tidak hanya dipengaruhi oleh conto yang terletak di dalam blok saja, tetapi juga dipengaruhi oleh conto-conto di sekitarnya yang berdekatan. Hasilnya adalah :            

          1. suatu harga taksiran kadar yang lebih baik,

          2. suatu varians   dari taksiran tersebut.

Elips pasangan data antara kadar conto dengan kadar sebenarnya dari blok bijih dapat dibagi menjadi empat bagian, menggunakan garis regresi melalui titik (,), serta batas cut-off grade (cog) z_C = Z_C = 5 % (Gambar 2a) atau zc = 3,5% dan Zc = 5% (Gambar 2b). 

Gambar 4. Pencaran data antara kadar conto vs. kadar blok yang memperlihatkan prospek kesalahan penambangan.

Daerah 1       :    blok yang ditambang dengan kadar > cog yang sesuai

                         dengan kadar conto > cog ditambang

Daerah 2       :    blok-blok yang tidak ditambang dengan kadar < cog yang

                         sesuai dengan kadar conto < cog

Daerah 3       :    blok-blok dengan kadar < cog yang karena kesalahan

                         penaksiran (kadar taksiran > cog) juga ditambang

Daerah 4       :    blok-blok dengan kadar > cog yang karena kesalahan

                         penaksiran (kadar taksiran < cog) tidak ditambang

Jika garis regresi B-B' yang menunjukkan hubungan antara conto (sebagai taksiran kadar) dan kadar blok (kadar sebenarnya) diplot, maka blok-blok dengan kadar < 5% (cog) yang ditambang karena taksiran kadar (conto) >3,5% cog (daerah 3, Gambar 4b). Daerah 3 yang ditambang walaupun berkadar rendah menjadi lebih besar,  daerah 4 yang tidak tertambang karena kesalahan informasi menjadi kecil. Namun demikian, secara keseluruhan daerah dengan blok-blok yang mempunyai kadar > cut-off grade (5 %) dan ditambang menjadi lebih besar.

Kriging tidak akan membuat garis regresi baru yang lebih baik, tetapi akan mempersempit elips pencaran taksiran data (Gambar 5b).

Gambar 5. Perubahan bentuk elips pencaran data dengan penggunaan metode kriging.

Kriging akan memberikan bentuk elips pencaran data yang lebih kurus/sempit, dengan garis regresi yang mendekati sudut 45^o. Jumlah blok pada daerah 3 dan daerah 4 (yang menyatakan kadar rendah ditambang atau kadar tinggi tidak ditambang) akan berkurang.

4.  Asumsi dan Sifat-Sifat Kriging

Penggunaan ordinary kriging didasarkan pada asumsi-asumsi berikut (Kim, 1990):

ï Penyebaran kadar merupakan suatu proses acak (random process) dengan asumsi sedikit lebih lunak daripada stasionaritas orde kedua, yang biasanya disebut dengan asumsi hipotesis intrinsik orde nol. Ini berarti bahwa varians maupun kovarians harus ada dan finite

ï Data tidak menunjukkan gejala drift, dengan kata lain  E[Z(x)] = m

ï Kadar rata-rata (m) dari cebakan ini tidak diketahui

Selain kedua sifat penting dari kriging yang merupakan penaksir tidak bias dengan varians penaksiran yang minimum, masih ada beberapa sifat menarik lainnya yaitu:

ï Untuk tiap blok yang ditaksir dapat diperoleh pula varians krigingnya.

ï Kriging adalah interpolator yang eksak; taksiran kadar pada lokasi data akan sama dengan nilai data (conto), jadi tidak ada kesalahan penaksiran.

ï Kriging memiliki kemampuan intrinsik untuk ‘menguraikan’ data (declustering) dalam proses penaksiran.  Hal ini amat berguna dalam penaksiran menggunakan data yang amat mengelompok dan tak beraturan.

ï Kriging memberikan taksiran yang tidak bias secara bersyarat (conditionally unbiased).  Ini berarti bahwa secara rata-rata, semua blok yang taksiran kadarnya adalah  Z₀ akan memiliki kadar tersebut,  atau  

E [Z | Z* = Z₀] =  Z₀

ï Kriging mampu ‘menyaring’ conto yang digunakan dalam penaksiran (screening), artinya conto yang letaknya di dekat blok cenderung akan menyaring / mengurangi pengaruh conto yang letaknya lebih jauh di belakang conto pertama.

ï Dengan teknik kriging, kadar rata-rata dari blok-blok kecil sama dengan taksiran kadar untuk gabungan dari blok-blok tersebut (additivity).      Catatan: varians kriging dari blok-blok tidak dapat digabungkan seperti halnya taksiran kadar.

Selain beberapa kelebihan penaksir kriging di atas, ada pula beberapa kekurangan atau kelemahannya. Yang pertama, ordinary kriging cenderung menghasilkan taksiran blok yang lebih merata atau kurang bervariasi dibandingkan dengan kadar yang sebenarnya (smoothing effect).  Walaupun secara global kriging memberikan taksiran yang tidak bias, secara lokal kadar yang tinggi biasanya ditaksir terlalu rendah dan sebaliknya.

Kelemahan yang kedua, bobot yang diperoleh dari persamaan kriging tidak ada hubungannya secara langsung dengan kadar conto yang digunakan dalam penaksiran.  Bobot ini hanya tergantung pada konfigurasi conto di sekitar blok dan satu sama lain, serta pada variogram (yang walaupun merupakan fungsi kadar namun didefinisikan secara global).  Walaupun variogram memberikan gambaran dari mineralisasi dengan merata-ratakan beda kuadrat dari conto untuk setiap pasangan jarak h, ia tidak dapat menangkap seluruh aspek variasi kadar pada tingkat lokal.  Jadi, perbedaan kadar conto yang cukup besar (antara satu hingga dua orde saja) sudah cukup untuk mengacaukan taksiran kadar di tingkat lokal / blok. 

Selain itu, varians kriging yang dihasilkan tidak pula mencerminkan variabilitas kadar conto yang digunakan dalam penaksiran. Varians kriging lebih merupakan suatu indeks ketidak pastian dari hasil taksiran kadar, dan hanya dapat dibandingkan secara relatif untuk blok-blok dalam satu model yang sama.  Ia hanya merupakan fungsi dari posisi conto terhadap blok dan terhadap satu sama lain.  Untuk ukuran ketidak pastian dari taksiran kadar yang berdasarkan pada kadar conto, teknik kriging lainnya seperti jackknife kriging dapat digunakan.  Varians jackknife yang merupakan fungsi dari cadar conto dapat digunakan untuk membuat suatu selang kepercayaan untuk taksiran kadar (Adisoma, 1993).

5.  Persamaan Kriging

Misalkan terdapat suatu kumpulan S₁ dari n conto dengan volume yang sama pada suatu tempat x_i. Sebagai taksiran harga terhadap suatu kadar Z dari volume V dipilih Z*. Taksiran kadar ini dapat dihitung melalui pembobotan rata-rata tertimbang (whighted average) kadar-kadar conto z(x_i).

                

Jumlah faktor pembobotan l_i dibuat sedemikian rupa sehingga sama dengan satu :

Dengan demikian taksiran ini tidak bias, artinya harga yang diharapkan untuk perbedaan antara Z dan Z* adalah nol.

                 E [Z -Z*] = 0

Dengan memperhatikan faktor-faktor pembobotan akan didapat suatu varians estimasi (lihat diskusi tentang varians estimasi)

Varians estimasi atau varians penaksiran ini adalah suatu fungsi dari faktor-faktor pembobotan l_i. Untuk memilih faktor-faktor pembobotan yang optimal, dibuat sedemikian rupa sehingga varians perkiraan ini minimum.

Persyaratan bahwa jumlah l_i adalah satu, dapat didekati dengan pertolongan suatu multiplikator Lagrange (m) untuk meminimum-kan hubungan persamaan berikut ini :

Selain dari  yang tidak diketahui, juga terdapat m yang juga tidak diketahui. Pernyataan bahwa harus diminimumkan ini diartikan bahwa perbedaan parsial   dan  adalah nol.

Selanjutnya didapat sistem persamaan linier (kriging system) sebagai berikut :

Sistem persamaan ini cukup untuk menentukan harga-harga l_j dan m yang akan menghasilkan suatu varians  minimum.

Varians penaksiran (kriging variance) akan diekspresikan melalui persamaan berikut :

Berikut ini diuraikan persamaan untuk menghitung    dan    yang merupakan konstanta-konstanta yang tidak dikenal :

 

Dengan memperhatikan bahwa , maka akan memberikan suatu matriks berikut ini:

Matriks  merupakan suatu matriks yang simetris.

Sistem persamaan tersebut diatas dapat dituliskan sebagai berikut :

                

Persamaan ini akan diselesaikan terhadap L untuk mendapatkan l_i dan sehingga diperoleh persamaan :               

Untuk varians kriging dapat dituliskan :

                

6.  Prosedur Point/Block Kriging

Teknik penaksiran kriging biasa (ordinary kriging) dapat dilakukan untuk blok maupun untuk penaksiran di suatu titik.  Penaksiran titik merupakan suatu kasus khusus dari penaksiran blok, yaitu blok tersebut diwakili oleh titik tengahnya.

Jadi, untuk penaksiran di suatu titik lokasi (point kriging) volume blok menyusut menjadi sebesar volume conto.  Perhitungan varians penaksiran (kriging variance) pun menggunakan menggunakan varians conto (sample variance) sebagai titik tolak.

Aplikasi penaksiran kadar dalam bidang pertambangan hampir selalu dilakukan untuk blok-blok yang merupakan unit penambangan terkecil.  Dalam proses perhitungan (jarak conto ke blok, variogram antara conto dan blok), setiap blok diwakili oleh titik-titik integrasi (lihat Gambar 5).  Perhitungan varians penaksiran dilakukan dengan titik tolak varians blok, bukan varians conto.  Selain dari hal-hal di atas, prosedur penaksiran titik pada dasarnya sama dengan penaksiran blok (lihat Gambar 6).

Gambar 5. Contoh dua dimensi dari suatu blok dengan perhitungan luas yang didekati oleh 9 titik integrasi numerik.

Gambar 6. Rangkuman prosedur point / block kriging.

7.  Contoh Perhitungan

Pengaruh beberapa parameter geostatistik akan diterangkan pada suatu conto perhitungan sederhana sebagai berikut :

Diketahui conto x_i dengan kadar z(x_i) diambil dengan jarak yang sama  (L=20 m) di sepanjang suatu garis. Kadar rata-rata semua conto  = 1,0. Variogram (model Matheron) pada data tersebut mempunyai parameter sebagai berikut :

                 C₀ = 0,0   C = 1,0   a = 60 m

Akan dihitung bobot, varians estimasi (varians kriging), dan standar deviasi relatif untuk kadar z* suatu potongan garis sepanjang L (mis, pada titik x₁)

7.1    Sistem Kriging dengan memperhatikan hanya satu conto

 

Dengan memasukkan parameter-parameter tersebut pada persamaan umum kriging akan memberikan :                               

                                 1 . 0 + m = 0,124   ð m = 0,124

 

Untuk varians krigingnya berlaku rumus :

 

7.2    Sistem Kriging dengan memperhatikan tiga conto

Sistem Kriging

  

7.3    Contoh perhitungan sederhana penaksiran titik untuk dua konfigurasi conto

Untuk memberikan gambaran yang lebih nyata, berikut ini diberikan contoh sederhana bagaimana memecahkan persamaan kriging tanpa bantuan komputer. Agar lebih mudah, contoh-contoh ini dibuat untuk penaksiran titik (point kriging). Penaksiran blok mempunyai cara perhitungan yang sama, hanya detail perhitungannya lebih panjang.  Untuk penaksiran blok dengan jumlah conto cukup banyak, program komputer yang ada dapat dipakai dengan mudah.

Gambar 7 menunjukkan suatu blok kecil yang diwakili oleh titik tengahnya X₀, yang dikelilingi oleh conto yang masing-masing berjarak 100 m dari blok.  Konfigurasi pada Gambar 7a memperlihatkan conto 2 dan 3 yang letaknya saling berdekatan (jarak satu sama lain 20 m) di sebelah Timur blok, dan conto 1 di sebelah Barat blok.  Konfigurasi di Gambar 7b memperlihatkan ketiga conto yang tersebar merata di sekitar blok (tidak ada pengelompokan data). 

Kriging akan dapat membedakan kedua konfigurasi ini dengan memberikan bobot yang berbeda.  Sebaliknya, metode penaksiran yang semata-mata didasarkan kepada jarak antara conto dengan blok (misalnya metode jarak terbalik / inverse distance) tidak mampu melihat pengelompokan data ini.  Inverse distance akan memberikan bobot yang sama untuk kedua konfigurasi di atas.

Gambar 7. Contoh perhitungan kriging untuk dua konfigurasi conto di sekitar blok.

Digunakan variogram model Sferis (Matheron) dengan :

nugget (C₀)                   =          0

sill                                  =          4,0

range (a)                       =          400 m

atau                   g(h)      =          0,01 h             untuk  h £  400 m

g(h)      =          4,0 h               untuk  h >  400 m

Kesimpulan :

- Secara relatif, konfigurasi Gambar 7b memberikan varians kriging yang lebih rendah dari pada konfigurasi Gambar 7a, artinya hasil taksiran kadarnya lebih dapat dipercayai.

- Bobot conto 1 pada konfigurasi Gambar 7a hampir separuh dari seluruh bobot, dan conto 2+3 separuhnya. Artinya konfigurasi Gambar 7a praktis ditaksir dengan 2 conto yaitu conto 1 dan gabungan conto 2+3.

- Konfigurasi Gambar 7b memberikan bobot yang sama untuk setiap conto.